Det er en af de grundlæggende sætninger i den euklidiske geometri
Leveret af Dennis Pipenbring
Du finder videoen her
Pythagoras’ sætning siger, at i en retvinklet trekant med kateterne aaa og bbb, samt hypotenusen ccc, gælder:a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2
Bevis med kvadrater (Euclids bevis)
- Opbygning af et kvadrat:
- Tegn et kvadrat med sidelængde a+ba + ba+b, så det samlede areal er: (a+b)2(a + b)^2(a+b)2
- Inden i dette kvadrat placeres fire identiske retvinklede trekanter med sidelængder aaa og bbb, samt hypotenusen ccc.
- Arealudtryk før og efter omrokering:
- Det samlede kvadrat har et areal på: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a+b)2=a2+2ab+b2
- De fire trekanter dækker tilsammen et areal på: 4×12ab=2ab4 \times \frac{1}{2} ab = 2ab4×21ab=2ab
- Der efterlades et mindre kvadrat i midten med sidelængde ccc, og dets areal er: c2c^2c2
- Ligning mellem arealer:
- Trækker vi arealet af de fire trekanter fra det store kvadrats areal: (a+b)2−2ab=c2(a + b)^2 – 2ab = c^2(a+b)2−2ab=c2
- Udvikling af venstresiden: a2+2ab+b2−2ab=c2a^2 + 2ab + b^2 – 2ab = c^2a2+2ab+b2−2ab=c2
- Forkorter vi udtrykket: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2
Dette beviser Pythagoras’ sætning.
Bevis med lignende trekanter
Vi beviser Pythagoras’ sætning ved hjælp af lignende trekanter og forhold mellem sidelængder.
1. Opdeling af trekanten
Lad ABCABCABC være en retvinklet trekant med ret vinkel ved CCC. Vi tegner en højde fra CCC ned på hypotenusen ABABAB, som deler trekanten i to mindre trekanter, △ACX\triangle ACX△ACX og △BCX\triangle BCX△BCX, hvor XXX er fodpunktet for højden.
De to nye trekanter er begge retvinklede og er desuden lignende med den oprindelige trekant △ABC\triangle ABC△ABC, fordi de deler de samme vinkler.
2. Opskrivning af forhold
Ved trekantens opdeling får vi følgende lignende trekanter:△ABC∼△ACX∼△BCX\triangle ABC \sim \triangle ACX \sim \triangle BCX△ABC∼△ACX∼△BCX
Fra trekantligningen får vi to forhold:ac=xa(1)\frac{a}{c} = \frac{x}{a} \quad \text{(1)}ca=ax(1) bc=yb(2)\frac{b}{c} = \frac{y}{b} \quad \text{(2)}cb=by(2)
hvor xxx og yyy er de to dele af hypotenusen, som højden har opdelt den i.
3. Omskrivning og sammenhæng
Omskriver vi de to ligninger:a2=c⋅xa^2 = c \cdot xa2=c⋅x b2=c⋅yb^2 = c \cdot yb2=c⋅y
Lægger vi dem sammen:a2+b2=c⋅x+c⋅ya^2 + b^2 = c \cdot x + c \cdot ya2+b2=c⋅x+c⋅y
Da x+y=cx + y = cx+y=c, kan vi indsætte:a2+b2=c⋅(x+y)=c2a^2 + b^2 = c \cdot (x + y) = c^2a2+b2=c⋅(x+y)=c2
Konklusion
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2
Enhedsomregner/Enhedsberegner til omregning af enheder. Her kan du omregne mange enheder i flere kategorier som længde, areal, densitet, energi, masse, kraft, tryk, hastighed, temperatur, volumen med mere. Du finder den her
